اکثر پروتکل های رمزنگاری کوآنتومی متغیری پیوسته بر اساس استفاده از حالت های همدوس معمولی وحالت های فشرده بنا شده اند. اما حالت های کوآنتومی دیگر با توزیع گاوسی نیز می توانند در این پروتکل ها مورد استفاده قرار گیرند. در این پایان‌نامه برخی از حالت های همدوس غیرخطی را در پروتکل رمزنگاری حالت فشرده به کار می گیریم. برای بررسی میزان امنیت ارتباطات از اطلاعات متقابل شانون استفاده می کنیم و تغییرات آن را با پارامتر های مختلفی مانند ضریب نوفه محیطی و پارامتر همدوسی در حضور هرکدام از حالت ها بررسی می کنیم . بادر نظر گرفتن شرایط ایده آل برای هر حالت مشاهده می شود که حالت های همدوس غیرخطی هماهنگ، برهم نهاده، SU(1,1) و چهارفوتونی امنیت بیشتری را نسبت به حالت های همدوس معمولی فراهم می کنند، در حالی که حالت های همدوس فوتون افزوده امنیت کمتری دارند.

حالت‌های عددی جابه‌جا شده تعمیمی از حالت‌های همدوس هستند. این حالت‌ها و همچنین برهم‌نهی آن‌ها دارای خواص غیرکلاسیکی می‌باشند؛ به‌عنوان مثال ممکن است اثر پاد خوشه‌ای را نشان دهند و دارای آمار فوتونی زیرپوآسونی باشند. در این پایان‌نامه با استفاده از حالت‌های عددی جابه‌جا شدۀ دومدی، 14 حالت شبه بل را می‌سازیم. سپس خواص غیرکلاسیکی آن‌ها همانند اثر پاد خوشه‌ای، آمار فوتونی زیرپوآسونی و فشردگی را مورد بررسی قرار می‌دهیم. برای مطالعۀ آمار فوتونی زیرپوآسونی و اثر پاد خوشه‌ای به‌ترتیب پارامتر مندل و تابع همدوسی مرتبۀ دوم را محاسبه می‌کنیم. مشاهده می‌کنیم تمام حالت‌های مورد مطالعه در بازه‌ای از پارامترها آمار فوتونی زیرپوآسونی را نشان می‌دهند، در حالی که 12 حالت اثر پادخوشه‌ای را نشان داده و همچنین یکی از آن‌ها فشردگی را نشان می‌دهد.

حالت¬های عددی جابه¬جاشده از تاثیر عملگر جابه¬جایی بر روی حالت¬های برانگیخته نوسانگر هماهنگ به¬دست می¬آیند. این حالت¬ها تعمیمی از حالت¬های همدوس هستند و از انواع حالت¬های غیرمتعامدند. درسال¬های اخیر مطالعه درهم¬تنیدگیِ حالت¬های غیرمتعامد مورد توجه و بررسی قرار گرفته است. در این پایان¬نامه با استفاده از برهم¬نهی حالت¬های عددی جابه¬جاشده دومدی با اختلاف فازهای و ، 13 حالت شبه¬بل را می¬سازیم. سپس درهم¬تنیدگی آن¬ها را مورد بررسی قرار می¬دهیم. به این منظور ابتدا این حالت¬ها را برحسب حالت¬های متعامد نوشته، سپس با استفاده از سنجه توافق برای حالت¬های خالص دوجزئی، درهم¬تنیدگی آن¬ها را به ازای همه مقادیر پارامترها بررسی می¬کنیم. مشاهده می¬شود که از 13 حالت مورد مطالعه دو حالت به ازای همه مقادیر پارامترها دارای بیشینه درهم¬تنیدگی هستند، در حالی¬که بقیه حالت¬ها بسته به مقادیر پارامترها ممکن است بیشینه درهم¬تنیدگی را نشان دهند یا جداپذیر باشند

پتانسیل¬های وابسته به مکان در مکانیک کوآنتومی به دو دسته چند¬جمله¬ای و غیر¬چند¬جمله¬ای
(یا کسری) تقسیم می¬شوند. پتانسیل¬های کسری نیز به دو دسته تکین و غیر¬تکین تقسیم می¬شوند. ازجمله پتانسیل¬های تکین می¬توان به پتانسیل¬های میله¬ای و هم¬توان اشاره کرد. هم¬چنین از جمله
پتانسیل¬های غیر¬تکین، می¬توان پتانسیل¬های سی¬پی¬آر¬اس و کسری مرتبه دوم و چهارم را نام برد. این پایان¬نامه به مطالعه پتانسیل¬های کسری مرتبه دوم و چهارم می¬پردازد. برای مطالعه این
پتانسیل¬ها از یک روش ماتریسی استفاده می¬کنیم. ابتدا نمایش ماتریسی هامیلتونی را در پایه
ویژه¬حالت¬های نوسانگر هماهنگ می¬یابیم. به¬این منظور از یک روش ریاضی برای حل انتگرال-هایی شامل حاصل¬ضرب توابع هرمیت استفاده می¬کنیم. سپس با استفاده از برنامه رایانه¬ای متمتیکا
تراز¬های انرژی و توابع¬موج را به¬دست می¬آوریم. در نهایت طیف انرژیِ نوسانگر¬های کسری مرتبه دو و چهار را به¬صورت تابعی از پارامتر¬های پتانسیل¬ها مورد تجزیه و تحلیل قرار می¬دهیم.
 

ابتدا فرمول‌بندی مکانیک کوآنتومی اَبر‌متقارن را بر پایۀ مفاهیمی چون، پتانسیل‌های همزاد، اَبر‌پتانسیل، عملگر‌های اَبر‌تقارنی و اَبر‌بار معرفی می‌کنیم. سپس با بیان شرط ناوردایی‌شکل پتانسیل‌های همزاد، کاربرد این روش در به‌دست آوردن ویژه‌توابع و ویژه‌مقادیر پتانسیل مورس را بررسی می‌کنیم. در ادامه، نحوۀ دسته‌بندی پتانسیل‌های ناوردا‌شکل و روش عملگری مرتبط با آن‌ها را مرور خواهیم کرد. پس از آن با بیان تعمیم مکانیک کوآنتومی اَبرمتقارن به مکانیک کوآنتومی پارا-اَبر‌متقارنِ مرتبۀ دوم، اندر‌کنش‌ اتم‌های سه‌ترازه با پتانسیل‌های ناوردا‌شکل را در چارچوب پارا-اَبرتقارن مطالعه می‌کنیم. با استفاده ازپارا-اَبر‌تقارنِ مرتبۀ دوم، هامیلتونی‌های هر سه پیکر‌بندی اتم سه‌ترازه را بر‌حسب عملگرهای مقیاس و هامیلتونی‌های همزاد می‌نویسیم. با در نظر گرفتن عملگر مقیاس کلی برای هر سه پیکر‌بندی اتم سه‌ترازه و حل معادلۀ ویژه‌مقداری آن‌ها، ویژه‌مقادیر و ویژه‌حالت‌ها را به‌دست می‌آوریم. در نهایت، نتایج به‌دست آمده را برای چند پتانسیل خاص مورد بررسی قرار می‌دهیم.

حالت¬های فشرده، دستۀ مهمی از حالت¬های کوآنتومی هستند. ویژگی بارز این حالت¬ها کاهش افت وخیز در یکی از مولفه¬های میدان به مقداری کمتر از مقدار مشابه در حالت همدوس است. با توجه به کاربرد¬های فراوان تجربی و نظری، این حالت¬ها در سال¬های اخیر توجه زیادی را به خود جلب کرده¬اند. لذا تاکنون این حالت¬ها برای سیستم¬های فیزیکی مختلفی ساخته شده¬اند. از سوی دیگر در سال¬های اخیر هامیلتونی¬های مربعی از جنبه¬های مختلف مورد مطالعه قرار گرفته¬اند. دو نوسانگر هماهنگ که با جملۀ اندرکنش جفت شده¬اند، نمونه¬ای از سیستمی با هامیلتونی مربعی است. هدف ما در این پژوهش ساختن حالت خلا فشرده برای نوسانگر هماهنگ دو بعدی با جملۀ اندرکنشی است. این کار با تعمیم عملگر فشردگی نوسانگر هماهنگ صورت می¬گیرد. به این منظور ابتدا عملگرهای نردبانی هامیلتونی مربعی عام را با استفاده از یک روش ماتریسی به دست می¬آوریم. سپس عملگر فشردگی را برای هر مد نوسانی بر حسب عملگرهای نردبانی می¬سازیم. در ادامه عملگر فشردگی کل را به¬صورت حاصل¬ضرب عملگر فشردگی تمامی مدها به¬دست آورده و شکل تابعی عملگر فشردگی کل را بر حسب عملگرهای مکان و اندازه¬حرکت معرفی می¬کنیم. سپس عملگر فشردگی کل را به-صورت حاصل ضربی از جمله¬های نمایی مربعی به¬دست می¬آوریم. با اثر دادن این عملگر بر روی تابع موج حالت خلا، تابع موج حالت خلا فشرده را به¬دست می¬آوریم. در پایان تحول زمانی تابع موج حالت خلا فشرده را مورد مطالعه قرار می¬دهیم.